Scratcherのための数学勉強会です（そのまんま
Scratchをやっていて数学が必要になったこと、ありませんか？
逆に、数学をやっていてそれをScratchで実装してみたい、と思ったことありませんか？
でも、独りじゃ難しい。独りじゃ難しすぎて勉強できる自信がない……
そんな時、このフォーラムを利用してください。みんなで協力して勉強しましょう……という場所。

まあ、要は数学の勉強をする場所です。数学ならなんでもいいです。
小学校の算数でも、中学数学でも高校数学でも大学数学でもなんでもいいです。うぇるかむうぇるかむ。

なお、進行は誰かが議題を書いて、それについて話し合う、という形式です。
同時進行も問題なし。ですがわかりやすくするためにquoteはできるだけ省略する方針で。
だいたい2quote前後に抑えるといいと思います。
まあ、どの議題について話しているのか明示すればおおけえです。

いま発見したこと
「フィボナッチ数列は必ず奇数奇数偶数の順で並ぶ」

apple502j wrote:

いま発見したこと
「フィボナッチ数列は必ず奇数奇数偶数の順で並ぶ」

mod2すると自明だけど一般化すると案外おもしろいかも
あまりを考えると
mod2の場合は
110のループ　周期3
mod3の場合は
11202210のループ　周期8
mod4の場合は
112310のループ　周期6
mod5の場合は
11230331404432022410のループ　周期20
mod6の場合は
112352134150554314532510のループ　周期24
規則性が見えないけど共通してるのは最後が10であること（自明
周期についての一般的な式を考えるのも面白そう。

ちなみにmod nっていうのはnで割ったあまりのこと。

ryorozyo wrote:

mod2すると自明だけど一般化すると案外おもしろいかも
あまりを考えると
mod2の場合は
110のループ　周期3
mod3の場合は
11202210のループ　周期8
mod4の場合は
112310のループ　周期6
mod5の場合は
11230331404432022410のループ　周期20
mod6の場合は
112352134150554314532510のループ　周期24
規則性が見えないけど共通してるのは最後が10であること（自明
周期についての一般的な式を考えるのも面白そう。

ちなみにmod nっていうのはnで割ったあまりのこと。

仮説
pを素数、a_0~a_(n-1)を素数の整数乗、aを任意の整数としたとき、mod nのときの周期をF(n)とすると
nが素数のとき：不明
nが素数の累乗のとき：n=p^aとするとF(n)=F(p)p^(a-1)
nが幾つかの素数の累乗の積のとき：na_0)*(a_1)*・・・(a_(n-1))とすると
F(n)=lcm(F(a_0),F(a_1),・・・F(a_(n-1)))

apple502j wrote:

いま発見したこと
「フィボナッチ数列は必ず奇数奇数偶数の順で並ぶ」

奇数+奇数が偶数で、奇数+偶数が奇数だからだと思ふ
(自信はない)

masa2004 wrote:

apple502j wrote:

いま発見したこと
「フィボナッチ数列は必ず奇数奇数偶数の順で並ぶ」

奇数+奇数が偶数で、奇数+偶数が奇数だからだと思ふ
(自信はない)

その認識で合ってるはずです。

ryorozyo wrote:

仮説
pを素数、a_0~a_(n-1)を素数の整数乗、aを任意の整数としたとき、mod nのときの周期をF(n)とすると
nが素数のとき：不明
nが素数の累乗のとき：n=p^aとするとF(n)=F(p)p^(a-1)
nが幾つかの素数の累乗の積のとき：na_0)*(a_1)*・・・(a_(n-1))とすると
F(n)=lcm(F(a_0),F(a_1),・・・F(a_(n-1)))

調べたところ、どうやらnが素数のときのF(n)は未解決問題だそうです。

適当に知ってる数学について書いてみる
「微分」
関数があった時に、そのそれぞれの点上での傾きの関数を作る操作を「微分」と呼びます。
たとえば、関数y=3xは、傾きが常に3であるため微分するとdy/dx=3となります。
ここで、唐突に「dy/dx」という記号を使いましたが、これがなんなのか説明しましょう。
これは見た目からしてdyをdxで割っているように「見える」と思います。
このdxというのがxの変化量、dyというのがそれに応じたyの変化量なのであります。
ここで、yの変化量とxの変化量の比というのは何だったでしょうか。
そう、傾きです。dy/dxというのはそのままyの変化量をxの変化量で割ったものなのです。
では、y=x^2などの、傾きが一定でない関数についてはどうでしょう。
当然、y=2のような単純なものではないでしょう。ここで、一度xの変化量をhとおいてみましょう。
すると、yの変化量は(x+h)^2-x^2となりますね。x座標がx+hのときのy座標から、x座標がxのときのy座標を引いたのです。
さて、傾きはyの変化量をxの変化量で割ったものでした。割ってみましょう。
そうすると((x+h)^2-x^2)/hとなります。これで傾きが求まりました、めでたしめでたし・・・とはなりませんね。
なぜならこれではxの変化量がまだ残ってるからです。これではxの関数とは呼べません。
hを限りなく0に近づける必要があります。やってみましょう・・・といっても、できません。
なぜなら分母がhだからです。このままh=0としてしまうとゼロ除算となってしまいます。いけませんね。
仕方がないので、傾きの式((x+h)^2-x^2)/hをいじってみましょう。
((x+h)^2-x^2)/h= (x^2+2xh+h^2 - x^2)/h= (2xh+h^2)/h=2x+h
おっと、ゼロ除算がなくなりました。ここまでくればh=0としても問題ありません。
hに0を代入してあげれば、答えが求まります。y=x^2の微分はdy/dx=2xだったのです！
せっかくなので、微分の定義をきちんと式で書いてあげましょう。
ここで、f'(x)はf(x)の微分のことです
微分の定義は
f'(x)=lim_h→0 (f(x+h)-f(x))/hとなります。
先程やったように、このf(x)に微分したい公式を入れてあげて、0除算にならないように式変形して、最後にh=0としてあげれば
微分することができます。

どうでしょう。文字だから少々大変でしたが、分かりましたでしょうか。
ここがわからない、ここをもうちょっと詳しく教えてくれ、等ありましたら言っていただきたいです。

ryorozyo wrote:

「微分」
関数があった時に、そのそれぞれの点上での傾きの関数を作る操作を「微分」と呼びます。

この辺の話をするためのスライド資料をパワーポイントで作りかけてて、
Scratchの方が作りやすいことに気が付きました(^^)

https://scratch.mit.edu/projects/154483523/

ちょっとつぶやき版からやってきた。カタラン数をスクラッチで再現してみたい
https://scratch.mit.edu/discuss/topic/256377/?page=82#post-2734996

つぶやき板にすでに貼ってしまった。
一応解説すると、式をこうやって変形してプログラムにした。!!は二重階乗で、一個飛ばしに掛け算するやつ。

========
|　　　|
|　　　|
|　　　|
これなんですか

masa2004 wrote:

========
|　　　|
|　　　|
|　　　|
これなんですか

Σの掛け算バージョンとおもってください。

ryorozyo wrote:

つぶやき板にすでに貼ってしまった。
一応解説すると、式をこうやって変形してプログラムにした。!!は二重階乗で、一個飛ばしに掛け算するやつ。

!ばかりで威圧的に思ってしまうのですがそんな風に思うのは僕だけでしょうか

yoshiki_i wrote:

ryorozyo wrote:

つぶやき板にすでに貼ってしまった。
一応解説すると、式をこうやって変形してプログラムにした。!!は二重階乗で、一個飛ばしに掛け算するやつ。

!ばかりで威圧的に思ってしまうのですがそんな風に思うのは僕だけでしょうか

!が威圧的と思うならΓ関数を使って書くのも手だよ。

今日ふと疑問に思ったことがあるのですが、

3⁰、3⁻¹の考え方は下の通り。

3⁻²　3⁻¹　3⁰　3¹　3²　3³
1/9　1/3　1　 3 　9 　27
<÷3 <÷3 <÷3 <÷3 <÷3

要は、3²=9, 3¹=3 で指数が1個減ると÷3になるから、0乗や-1乗も同じ、ということです。
じゃあ0のn乗は？(下はそれぞれ仮定)

0⁰　0¹　0²
1 　0 　0
<÷0 <÷0

あれ？　0÷0って1なの？　0なの？
そもそも数字って0で割っちゃいけないんじゃなかったっけ？
逆向きに×で見たら正しいけど、それだととる値は何でもいいことになるよね？

ってわけで、今混乱状態なのです。
どなたか教えてください！

fine316 wrote:

今日ふと疑問に思ったことがあるのですが、

「0²は本当に0なのか？」

3⁰、3⁻¹の考え方は下の通り。

3⁻²　3⁻¹　3⁰　3¹　3²　3³
1/9　1/3　1　 3 　9 　27
<÷3 <÷3 <÷3 <÷3 <÷3

要は、3²=9, 3¹=3 で指数が1個減ると÷3になるから、0乗や-1乗も同じ、ということです。
じゃあ0のn乗は？(下はそれぞれ仮定)

0⁰　0¹　0²
1 　0 　0
<÷0 <÷0

あれ？　0÷0って1なの？　0なの？
そもそも数字って0で割っちゃいけないんじゃなかったっけ？
逆向きに×で見たら正しいけど、それだととる値は何でもいいことになるよね？

ってわけで、今混乱状態なのです。
どなたか教えてください！

0を2回かけるので0*0=0、0です。(説明下手ですいません)

yoshiki_i wrote:

0を2回かけるので0*0=0、0です。(説明下手ですいません)

それは重々承知の上です。
上の考え方でやると矛盾しないか？ってことでコメしました。

fine316 wrote:

今日ふと疑問に思ったことがあるのですが、

「0²は本当に0なのか？」

その考え方では確かに0除算が発生しますね。
しかし、そこからわかるのは
0^2≠0ではなく、0^2=0ではないかもしれないということだけです。
実際は、累乗はまずe^xを定義し、その後にそれと対数関数を用いて定義するのであんまり問題はないのですけどね。
余り納得がいかないようでしたら、
指数法則の一つ
a^x * a^y = a^(x+y)を用いて
3^(-2) * 3^3 = 3^(-2+3) = 3^1 = 3
3^(-2) = 3 / 3^3 =1/3^2
というふうにすれば-2乗も定義できますし
0^1=0（定義より）から
0^2=0^1*0^1=0*0=0という風に0^2も問題なく定義できます。
ようは定義のやり方の問題です。